Линейное программирование

одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке xk Î X выбирается направление спуска sk, то есть одно из направлений, по которому функция j(x) убывает, и вычисляется xk+1 = p(xk + aksk), где p(xk + aksk) означает проекцию точки xk + aksk на множество X: , число ak > 0 выбирается при этом так, чтобы j(xk +1) < j(xk). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда sk = -grad j(xk). В Математическое программирование

доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {хk}, построенная методом проекции градиента, такова, что стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии. Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач Математическое программирование

является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи Математическое программирование

, связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта. Важным направлением исследования в Математическое программирование

являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач - задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач - так называемому процессу регуляризации.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Математическая формулировка задачи линейного программирования

Нужно максимизировать

при условиях при i = 0, 1, 2, . . . , m .

Иногда на xi также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя ее во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f).

Такую задачу называют "основной" или "стандартной" в линейном программировании.